切比雪夫不等式(切比雪夫不等式)

切比雪夫不等式

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今天讲如何从排序不等式推导切比雪夫不等式。

仍然像上期一样,把排序不等式放在这里:

排序不等式:有两个从小到大排列的数组:
另有一数组(c1, c2,  … , cn),它是数组(b1, b2, … , bn)的任一排列。则

我们将从上面这个排序不等式证明下面的切比雪夫不等式:

切比雪夫不等式:(1) 有两个都是从小到大(或都是从大到小)排列的数组:

即:第一个数组的算术平均值与第二个数组的算术平均值的乘积小于等于两数组对应元素乘积的算术平均值。
(2) 若两个数组一个是从小到大排列,另一个从大到小排列,即

即:第一个数组的算术平均值与第二个数组的算术平均值的乘积大于等于两数组对应元素乘积的算术平均值。
以上两种情况中的等号当且仅当a1=a2=···=an或b1=b2=···=bn时成立。(如何记住何时为“≤”,何时为“≥”?可以这样记:顺序大,逆序小。与排序不等式相仿。)

下面进行证明。我们只证明第(2)种情况即两数组互相反向时的情况。根据排序不等式(逆序≤乱序),有
上面n个式子相加,得
上面(1)式就是
证毕。

上面的切比雪夫不等式可以简单理解为:相同(相反)顺序两数组“乘积的平均值≥(≤)平均值的乘积”(当然这里所说的平均值指算术平均值)。

从切比雪夫不等式可以直接推导出下面有关增函数(或减函数)的不等式:

其中f(x)是定义在区间(a, b)上的增函数(或减函数),a1, a2, ··· , an是位于区间(a, b)内的任意n个数。为了加深对切比雪夫不等式的理解,需要做题。
例:a,b,c为三个正数,那么有
等号当且仅当a=b=c时成立。

证明:不妨设0<a≤b≤c。那么,
即”a,b,c”与”a方,b方,c方”是“顺序”的,所以,根据切比雪夫不等式,有
其实上式中a,b,c的大小关系无所谓,只要都大于0即可。上式等号当且仅当a=b=c时成立。

且慢,上面证明中有一个“想当然”,即a≤b≤c时,a方≤b方≤c方。这是对的,但本质在于函数f(x)=x^2在(0,+∞)上是增函数,所以,实际上,我们是应用了上面关于增函数的那个不等式:

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